Méthode simple pour calculer la variance et l'écart-type

Pour une variable aléatoire

Dans cet article nous parlerons d'une variable aléatoire X définie de la sorte :

On considère l'expérience aléatoire d'un lancé de dé équilibré.

Si le dé fait 1 ou 2, la variable aléatoire vaut 0
Si le dé fait 3 ou 4, la variable aléatoire vaut 5
Si le dé fait 5, la variable aléatoire vaut -5
Si le dé fait 6, la variable aléatoire vaut 10

On a donc la loi de probabilité suivante :

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline ~x_i~ & ~-5~ & ~0~ & ~5~ & ~10~ \\ \hline ~P(X=x_i)~ & ~\frac{1}{6}~ & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array}

Formule de l'espérance d'une variable aléatoire

La formule :

Si une variable aléatoire $X$ prend les valeurs :

$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$

Avec des probabilités respectives

$p_1,p_2,p_3,\dots,p_n$

Alors on a la formule suivante pour l'espérance $E(X)$ :

$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+...+x_np_n$

Exemple :

Reprenons la variable aléatoire $X$ définie plus haut.

On a alors :

$E(X)=-5\times\dfrac{1}{6}+0\times\dfrac{1}{3}+5\times\dfrac{1}{3}+10\times\dfrac{1}{6}$

$E(X)=\dfrac{-5+10+10}{6}$

$E(X)=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}$

Donc cette variable aléatoire a pour espérance $\dfrac52 = 2.5$

Formule de la variance d'une variable aléatoire

La formule

Si une variable aléatoire $X$ prend les valeurs :

$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$

Avec des probabilités respectives

$p_1,p_2,p_3,\dots,p_n$

Alors on a la formule suivante pour la variance $V(X)$ :

$V(X)=E((X-E(X))^2)$

c'est à dire

$V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+\dots+p_n(x_n-E(X))^2$

(en pratique c'est cette formule de l'on utilise)

Une autre formule qui peut parfois servir est :

V(X) = E \left( X^2 \right) - E(X)^2

Exemple

Reprenons notre variable aléatoire associée au lancé de dé, on avait calculé l'espérance $E(X)$ qui valait $\dfrac52$ .

On a alors :

$V(X) = p_1(x_1 - E(X))^2 + p_2(x_2 - E(X))^2 + p_3(x_3 - E(X))^2 + p_4(x_4 - E(X))^2$

$V(X) = \frac{1} {6} \left(-5 - \frac{5} {2}\right)^2 + \frac{1} {3} \left(0 - \frac{5} {2}\right)^2 + \frac{1} {3} \left(5 - \frac{5} {2}\right)^2 + \frac{1} {6} \left(10 - \frac{5} {2}\right)^2$

après calculs on trouve :

$V(X) = \frac{275} {12} \approx 22,92$

Formule de la l'écart-type d'une variable aléatoire

La formule

Si une variable aléatoire ( X ) prend les valeurs

$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$

Avec des probabilités respectives

$p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n$

On a la formule suivante pour l'écart type $\sigma(X)$ :

$\sigma(X) = \sqrt{E \left( (X - E(X))^2 \right)}$

ou plus simplement :

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Exemple :

Toujours en reprenant la même variable aléatoire on a :

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

$\sigma(X) = \sqrt{\frac{275}{12}}$

$\sigma(X) \approx 4,79$

Comment interpréter les indicateurs ( l'espérance, la variance et l' écart-type ) ?

L'espérance

L'espérance est une mesure statistique essentielle qui nous permet de calculer la valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire.

Elle est utilisée dans de nombreux domaines pour comprendre le comportement des données aléatoires et est souvent utilisée en conjonction avec d'autres mesures statistiques pour caractériser une distribution de données.

La variance

La variance est une mesure importante qui nous aide à comprendre la dispersion ou la variabilité des données dans une distribution.

Elle peut être utilisée en conjonction avec l'espérance et l'écart-type pour caractériser une distribution de données et peut également être utilisée pour calculer l'écart-type.

L'écart-type

L'écart-type est une mesure statistique importante qui peut nous aider à comprendre la dispersion ou la variabilité des données d'un échantillon ou dans une distribution.

Il peut également être utilisé pour identifier les valeurs atypiques ou aberrantes.

Par conséquent, l'écart-type peut être utilisé pour identifier les valeurs atypiques ou aberrantes d'une distribution. Si une donnée est éloignée de plus de quelques écart-types de la moyenne, elle peut être considérée comme une valeur aberrante ou un point de données anormal.